Optimisation du bénéfice

Une entreprise produit du tissu. Le coût total de production (en euros) de l'entreprise est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0;10]$ par : $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$  où $x$  est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètres.
Chaque kilomètre de tissu est vendu $680$  euros.

On note $B\left(x\right)$  le bénéfice de l'entreprise, c'est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de $x$  kilomètres de tissu.

1. Quel est le bénéfice de l'entreprise pour la vente de $3$  kilomètres de tissu ?

2. Montrer que, pour tout  $x$ dans  $[0;10]$ ,  $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$ .

3. Justifier que la fonction $B$ est dérivable et donner une expression de $B^{\prime }\left(x\right)$ pour tout  $x$ dans  $[0;10]$ , où $B^{\prime }$  est la fonction dérivée de la fonction $B$ .

4. Dresser le tableau de signes de $B^{\prime }\left(x\right)$  sur $[0;10]$  puis le tableau de variations de la fonction $B$ . 

5. Combien de kilomètres de tissu l'entreprise doit-elle produire afin d'obtenir un bénéfice maximal ?

D'après un sujet d'E3C, voie générale, spécialité mathématiques.