Optimisation du bénéfice

Une entreprise produit du tissu. Le coût total de production (en euros) de l'entreprise est modélisé par la fonction `C` définie sur `[0;10]` par : \(C(x) = 15x^3 - 120 x^2 + 500x + 750\)  où \(x\)  est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètres.
Chaque kilomètre de tissu est vendu \(680\)  euros.

On note \(B\left(x\right)\)  le bénéfice de l'entreprise, c'est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de \(x\)  kilomètres de tissu.

1. Quel est le bénéfice de l'entreprise pour la vente de \(3\)  kilomètres de tissu ?

2. Montrer que, pour tout  `x` dans  `[0;10]` ,  \(B(x) = -15 x^3 + 120 x^2 + 180x - 750\) .

3. Justifier que la fonction `B` est dérivable et donner une expression de \(B'\left(x\right)\) pour tout  `x` dans  `[0;10]` , où \(B'\)  est la fonction dérivée de la fonction \(B\) .

4. Dresser le tableau de signes de \(B'\left(x\right)\)  sur \(\left[0 \ ; \ 10\right]\)  puis le tableau de variations de la fonction \(B\) . 

5. Combien de kilomètres de tissu l'entreprise doit-elle produire afin d'obtenir un bénéfice maximal ?

D'après un sujet d'E3C, voie générale, spécialité mathématiques.